Clevai - W88

Đường Trung Bình Của Tam Giác Là Gì? Định Lý & Bài Tập

2023-01-16T08:11:01Z

Chắc hẳn các bạn học sinh không còn xa lạ gì với đường trung bình của tam giác trong toán học, nhưng không phải ai cũng hiểu rõ định nghĩa cũng như công thức của nó, cùng tìm hiểu ngay về đường trung bình của tam giác trong bài viết này nhé

1. Định nghĩa đường trung bình tam giác

Trong toán học, đường trung bình của tam giác được định nghĩa là đoạn thẳng nối hai trung điểm bất kỳ trong một tam giác, ba cạnh của tam giác sẽ tạo ra ba đường trung bình và đường trung bình của tam giác sẽ tạo ra các cặp cạnh tỉ lệ với nhau và song song với cạnh còn lại.

Trong trường hợp đặc biệt, nếu là tam giác đặc biệt như tam giác đều hay tam giác cân, đường trung bình của các tam giác này có thể bằng nửa cạnh thứ ba

MN là đường trung bình của tam giác ABC

2. Định lý về đường trung bình trong tam giác

Trong một vài dạng bài tập, cần hiểu rõ về các định lý của đường trung bình trong tam giác mới có thể làm đúng yêu cầu của đề bài. Đường trung bình của tam giác có 2 định lý chính

Định lý 1

Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đường thẳng đó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba

Dạng bài thường gặp ở định lý này là dạng bài liên quan đến cạnh và góc, bao gồm cách tính và chứng minh các hệ thức về cạnh và góc

Định lý 2

Đường trung bình của tam giác bằng ½ cạnh thứ 3 và song song với cạnh ấy. Dạng toán thường được áp dụng là chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của một tam giác

3. Tính chất của đường trung bình của tam giác

Một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với một cạnh thứ 3 thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh thứ 2 (cạnh còn lại)
Đường trung bình của tam giác luôn song song với cạnh thứ ba và bằng ½ độ dài của cạnh đó

Trong các dạng bài tập liên quan hầu hết người học đều phải vận dụng các tính chất đường trung bình để chứng minh các đẳng thức và yêu cầu đề ra

Tính chất đường trung bình của tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có 2 cạnh tạo nên một góc 90 độ, khi nối 2 trung điểm của 2 cạnh góc vuông ta sẽ được một đường trung bình song song với cạnh còn lại, còn khi nối trung điểm của một cạnh góc vuông và 1 cạnh thường thì đường trung bình sẽ vuông góc với một cạnh góc vuông

VD:

Ví dụ về đường trung bình trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông MNP ta có OQ là đường trung bình của tam giác và OQ song song và bằng một nửa cạnh MN. Đặc biệt đây là trường hợp tam giác vuông nên OQ sẽ vuông góc với MP

Cách chứng minh đường trung bình của tam giác vuông

Để chứng minh 1 đường thẳng là đường trung bình của tam giác vuông thì trước hết đường thẳng đó phải song song với một trong ba cạnh của tam giác

Tiếp theo thì đường thẳng phải đáp ứng yêu cầu là vuông góc với 1 trong 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông

Đặc biệt, đường trung bình của tam giác vuông hay được liên hệ và vận dụng trong các dạng bài của hình thang vuông, bạn cần nắm rõ về phần lý thuyết này để học chắc những phần sau.

4. Các dạng toán phổ biến về đường trung bình của tam giác

Dạng 1: Dạng liên quan đến cạnh và góc, bao gồm các dạng như tính độ dài cạnh, số độ của góc hay chứng minh các hệ thức liên quan

Để có thể giải quyết dạng toán này, phương pháp được áp dụng chủ yếu là dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác kết hợp với các kiến thức về góc và cạnh khác. Cụ thể là định lý 1 và định lý 2 như đã nêu ở trên

Dạng 2: Là dạng chứng minh một đường thẳng bất kì là đường trung bình của tam giác.

Để có thể làm được dạng bài tập này, bạn cần hiểu và áp dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác. Từ kiến thức đường trung bình là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác lại với nhau ta sẽ chứng minh được đường thẳng đó là đường trung bình của tam giác

5. Một số bài tập mẫu về đường trung bình trong tam giác

Bài tập 1:

Hình minh họa bài tập 1

Xét tam giác ABC có:

I là trung điểm của AB
J là trung điểm của BC

Theo định lý đường trung bình của tam giác ta suy ra được IJ là đường trung bình tam giác ABC

Bài tập 2: Cho tam giác MNP, các đường trung tuyến NA và PB cắt nhau ở C. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của NA, BP. Chứng minh rằng BA//DE, BA= DE.

* Trong MNP, ta có:

B là trung điểm của MN (giả thiết)

A là trung điểm của MP (giả thiết)

Nên AB là đường trung bình của MNP

Theo tính chất đường trung bình của tam giác

AB//DE và AB = NP/2 (1)

* Trong NPC, ta có:

D là trung điểm của NC (gt)

E là trung điểm của PC (gt)

Nên DE là đường trung bình của NPC

Lại từ tính chất đường trung bình tam giác, suy ra:

DE // NP và DE = NP/2 (2)

Từ (l) và (2) suy ra: AB // DE, AB = DE

Một số bài tập luyện thêm

Bài 1: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn thẳng CD cắt AM tại điểm I. Chứng minh rằng

a) EM // DC

b) I là trung điểm AM

c) DC = 4DI

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;

b) AM là đường trung trực của EF.

Bài 2: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh

a) AFD cân tại F

b) Tam giác BAF =Tam giác CDF

Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = ½ DC. Kẻ Mx song song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I. Chứng minh rằng:

a) AD = DE = EC;

b) SAIB = SIBM ;

c) SABC = SIBC .

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ Hx vuông góc với AB tại P, Hy vuông góc với AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điểm D và E sao cho PH = PD; QH = QE. Chứng minh:

a) A là trung điểm của DE

b) PQ = ½ DE

c) PQ = AH

Kết luận: Bài viết trên là toàn bộ những kiến thức quan trọng liên quan đến đường trung bình của tam giác, các bạn cần nắm rõ các kiến thức như định lý và tính chất để vận dụng vào bài tập. Để biết thêm nhiều dạng bài cũng như những thông tin toán học bổ ích hãy tiếp tục theo dõi chúng tôi nhé.

Hai Tam Giác Đồng Dạng & Các Trường Hợp Đồng Dạng Của Tam Giác

2023-01-16T07:59:19Z

Đây là kiến thức của toán học lớp 8 và được áp dụng vào rất nhiều các dạng bài tập, để hiểu hơn về tam giác đồng dạng và các trường hợp đồng dạng của tam giác hãy cùng tìm hiểu ngay trong bài viết dưới đây

1. Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Đồng dạng ở đây có nhiều cách để nhận biết, ví dụ như 2 vật thể có kích thước và hình dáng như nhau được coi là đồng dạng. Tương tự như vậy trong tam giác khái niệm đồng dạng được so sánh dựa trên hệ số của cạnh và góc

Tam giác là loại hình học phẳng gồm 3 cạnh được nối lại với nhau và được chia thành nhiều loại tùy độ dài của cạnh và vị trí. Các loại tam giác thường gặp gồm tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,... Để hiểu về 2 tam giác đồng dạng ta sử dụng 2 tam giác cụ thể như sau

Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác MNP nếu:

Các góc: A = M; B = N; C = P và tỉ lệ các cạnh: BA/NM = CB/PN = CA/PM

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Ví dụ về 2 tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng là một phần kiến thức của chương trình toán học phần hai tam giác đồng dạng lớp 8, trong chương trình THCS và cả THPT các bạn đều gặp rất nhiều cho nên cần nắm chắc mảng kiến thức này để phục vụ cho phần kiến thức hình học trong toán

2. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác

Hai tam giác đồng dạng được chia thành 3 trường hợp đó là cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh, góc - góc - góc

2.1 Trường hợp 1 (cạnh - cạnh - cạnh)

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia

VD: Tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là 6,8,10 và tam giác A’B’C’ có 3 cạnh là 3,4,5. Ta thấy 2 tam giác này có tỉ lệ 6/3=8/4=10/5 cho nên tam giác ABC và tam giác A’B’C’ là 2 tam giác đồng dạng

2.2 Trường hợp 2 (cạnh - góc - cạnh)

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau

VD: Tam giác MNP có MN = 3cm, NP = 4cm và góc MNP = 60 độ. Tam giác M’N’P’ có M’N’ = 6cm, N’P’ = 8cm và góc M’N’P’ = 60 độ thì 2 tam giác này đồng dạng với nhau

2.3 Trường hợp 3 (góc - góc - góc)

Trường hợp góc - góc - góc được hiểu là nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau

VD: Tam giác DEF có góc DEF = 40 độ, EDF = 50 độ và tam giác D’E’F’ có góc D’E’F’ = 40 độ, E’D’F’ = 50 độ thì 2 tam giác này được coi là đồng dạng

3. Tính chất của 2 tam giác đồng dạng

Bất kì các trường hợp đặc biệt của tam giác nào cũng có những tính chất khác nhau và nó cực kỳ quan trọng trong việc áp dụng để giải các bài tập hình học. Ta sẽ luôn suy ra được tính chất của 2 tam giác đồng dạng như sau

Một là tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng sẽ bằng tỉ số đồng dạng nếu đó là 2 tam giác đồng dạng

Hai là tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng

4. Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, bạn có thể áp dụng một trong bốn cách sau

4 cách chứng minh 2 tam giác đồng dạng

Cách 1: Dựa vào 1 trong 3 trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh, cụ thể trong trường hợp này là cạnh - cạnh - cạnh. Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

Cách 2: Theo định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Cách 3: Cần chứng minh các điều kiện cần và đủ theo định nghĩa: hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng

Cách 4: Chứng minh trường hợp cạnh-góc-cạnh, 2 tam giác được coi là đồng dạng nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau

5. Bài tập về 2 tam giác đồng dạng

Để hiểu rõ nhất các trường hợp đồng dạng của tam giác ta cần phải bắt tay vào làm bài tập

Bài tập mẫu

Bài 1: Cho ΔABC cân tại A; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy lần lượt các điểm D; E trên AB; AC sao cho góc DME = góc ABC

a) Chứng minh rằng: ΔBDM ∽ ΔCME

b) Chứng minh rằng ΔMDE ∽ ΔDBM

c) Chứng minh rằng BD.CE không đổi

Hình minh họa bài tập 1

a) Ta có góc MBD = góc MCE vì ΔABC cân tại A (1) và góc DBM = góc DCM

(theo gt)

Mà góc DBM + góc BMD + góc MDB =180

EMD + DMB + EMC =180०

Suy ra góc BDM = góc EMC (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ΔBDM ∽ ΔCME (g.g.g).

b) Vì ΔMDB ∽ ΔEMC

Nên BD/CM=DM/ME và BM = CM (theo gt)

BD/BM = DM/ME => ΔMDE ∽ ΔDBM.

c) Vì ΔBDM ∽ ΔCME

BD/CM = BM/CE Suy ra: CE.DB=BM.CM

Mà BM=CM=BC/2= a ⇒ BD.CE = CM.BM = a2

Bài tập luyện thêm (không có lời giải)

Bài 1: Cho tam giác vuông ABC (Â = 90⁰) có BA = 9cm, CA = 12cm. Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D. Kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC) .

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC, DE

b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB //CD). Biết BA = 2,5cm; DA = 3,5cm; DB = 5cm; và góc DAB = DBC.

a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.

b) Tính độ dài các cạnh CB và CD.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, BA =15 cm; CA = 20 cm . Kẻ đường cao AH

a) Chứng minh: ΔABC đồng dạng ΔHBA từ đó suy ra: AB2 = BC. BH

b) Tính BH và CH.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH, biết BA = 15 cm, HA = 12cm

a) CM: ΔAHB đồng dạng ΔCHA

b) Tính các đoạn AC, HB, HC

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy AB = DM, trên tia đối của tia BA lấy NB = DA. Chứng minh:

a) ΔCBN và ΔCDM cân.

b) ΔCBN đồng dạng ΔMDC

c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.

Bài 6: Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE cắt nhau tại D. Chứng minh rằng

a) ΔABE đồng dạng ΔACF

b) AE . CB = AB . EF

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.

Kết luận: Như vậy qua bài viết này chắc hẳn các bạn đã nắm chắc được kiến thức hình học về hai tam giác đồng dạng cũng như các trường hợp của 2 tam giác đồng dạng. Để biết thêm những kiến thức toán học bổ ích hãy tiếp tục theo dõi các bài viết sau nhé

Tích Chất & Cách Tính Đường Cao Trong Tam Giác Đều, Vuông, Cân

2023-01-16T07:52:11Z

Tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông là những giả thiết về hình học trở nên rất quen thuộc với chúng ta trong môn Toán mà ai cũng cần phải biết. Bài viết dưới đây của chúng tôi muốn giới thiệu đến các bạn những Tích Chất & Cách Tính Đường Cao Tam Giác Đều, Vuông, Cân và những đặc tính riêng của chúng nhé!

1. Một số tính chất về đường cao trong tam giác

Trước tiên chúng hiểu đường cao trong tam giác chính là đoạn thẳng vuông góc xuất phát từ đỉnh của tam giác đến cạnh đáy đối diện của tam giác đó. Mỗi một tam giác sẽ có 3 đường cao và khoảng cách giữa đỉnh và cạnh đáy là độ dài đường cao. Cùng tìm hiểu với chúng tôi một số tính chất trong các loại tam giác đặc biệt sau đây.

1.1 Tính chất ba đường cao trong tam giác thường

Cùng với giả thiết đề bài toán và kết quả đã được các nhà toán học trên toàn thế giới đã chứng minh có sẵn. Hiện nay, chúng ta đã thừa nhận các tích chất của đường cao trong tam giác thường như sau. Ba đường cao của một tam giác sẽ giao nhau tại một điểm. Và giao điểm của ba đường cao sẽ được coi là trực tâm của tam giác đó.

Tính chất ba đường cao trong tam giác thường

1.2 Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Đối với tam giác vuông, đây là tam giác đặc biệt so với tam giác thường bởi nó có một góc vuông. Chính điều này khiến cho đường cao tam giác vuông sẽ có một số tính chất khác biệt như sau đây. Những tính chất này chúng ta cần phải ghi nhớ để để có thể giúp ích trong quá trình làm bài tập và ứng dụng trong cuộc sống nhé:

Tính chất thứ 1: Trong tam giác vuông, tích của đường cao với cạnh huyền tương ứng chính bằng tích của hai cạnh góc vuông trong tam giác
Tính chất thứ 2: Trong tam giác vuông ta có bình phương của cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân đường cao tương ứng chiếu trên cạnh huyền đó
Tính chất thứ 3: Trong tam giác vuông, bình phương của đường cao trên cạnh huyền chính bằng tích của hai hình chiếu trên cạnh huyền của hai cạnh góc vuông
Tính chất thứ 4: Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng nghịch đảo của bình phương đường cao

1.3 Tính chất đường cao trong tam giác cân

Đường cao trong tam giác cân

Tam giác cân chính là tam giác có tính chất đặc biệt là có độ dài hai cạnh bên bằng nhau và 2 góc ở đáy cũng bằng nhau. Chính vì vậy, Đường cao trong tam giác cân sẽ có một số tính chất đặc biệt mà các bạn học cần biết như sau:

Đầu tiên, đường cao trong tam giác chính là đoạn thẳng vuông góc xuất phát từ đỉnh đến cạnh đáy. Và đường cao trong tam giác cân sẽ giúp chia tam giác cân này thành 2 tam giác cân bằng nhau khác.
Thứ hai, đường cao xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy có chân đường cao là trung điểm của cạnh đáy. Do đó nó đồng thời là đường cao, đường phân giác và cũng là đường trung trực của tam giác cân.

Bên cạnh đó, trong tam giác vuông cân là trường hợp đặc biệt của tam giác cân và tam giác vuông. Chính vậy mà, đường cao tam giác vuông cân sẽ có các tính chất tương tự như trong tam giác cân và tam giác vuông. Và đường cao trong tam giác vuông cân sẽ chia tam giác thành hai tam giác vuông cân.

1.4 Đường cao trong tam giác đều có tính chất gì?

Tam giác đều là tam giác thường đáp ứng đủ các điều kiện là có 3 cạnh bằng nhau. Đồng thời 3 góc có trong tam giác đều bằng và bằng 60 độ nên độ dài của 3 đường cao tam giác đều bằng nhau. Bên cạnh đó, đường cao của tam giác đều có một số tính chất đặc biệt nổi bật mà bạn nên biết như sau:

Thứ nhất, một tam giác đều có tới 3 đường cao. Và những đường cao tương ứng đều xuất phát từ các định và kẻ vuông góc xuống các cạnh đáy còn lại tương ứng trong tam giác.
Thứ hai, 3 đường cao trong tam giác đều sẽ chia đôi các góc ở đỉnh thành 2 góc bằng nhau và đều bằng 30^o
Thứ ba, đường cao trong tam giác đều không chỉ đồng thời là đường trung trực, đường phân giác mà còn là đường trung tuyến trong tam giác. Bởi trong tam giác đều sẽ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
Thứ tư, đường cao đi qua trung điểm của cạnh đáy và chia cạnh đáy thành 2 phần bằng nhau.
Thứ năm, mỗi đường cao trong tam giác đều sẽ chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau có diện tích như nhau giống tam giác cân và tam giác vuông.

2. Các công thức tính độ dài đường cao trong tam giác

Hiện nay, các công thức tính độ dài đường cao đều đã được phát hiện và chứng minh do những nhà toán học thời trước. Bởi vậy mà trong quá trình giải bài tập, thay vì chúng ta phải chứng minh các công thức lại từ đầu để tìm ra công thức thì chúng ta có thể ghi nhớ và áp dụng một số công thức sau đây để tìm ra đáp án nhanh và chính xác hơn nhé!

2.1 Tìm hiểu công thức tính đường cao trong tam giác không đặc biệt

Chúng ta có thể nhận thấy rất đơn giản tam giác thường có 3 cạnh khác nhau, tạm gọi chúng là a, b, c, suy ra nửa chu vi p = (a + b + c)/2. Từ đó ta có công thức tính chiều cao trong tam giác thường như sau: h= 2. p p-ap-b(p-c)a

2.2 Cách tính đường cao trong tam giác đều nhanh gọn

Tính đường cao tam giác đều và hình vẽ đường cao trong tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau, Chính vậy mà đối với đường cao trong tam giác đều thì tính chất cố hữu của đường cao đó là 3 đường cao trong tam giác đều có độ dài bằng nhau. Và có đầy đầy đủ các tính chất giống nhau.

Do đó, giả sử cạnh của tam giác đều có độ dài là x thì đường cao trong tam giác đều sẽ có thể được tính theo công thức đã chứng minh như sau: H = x. 32.

2.3 Một số cách tính đường cao trong tam giác vuông

Dựa vào những tính chất đã chứng minh của đường cao trong tam giác vuông thì đường cao trong tam giác vuông ta rút ra được một số cách tính độ dài đường cao trong tam giác vuông mà bạn nên biết như sau:

X. H = Y.Z (theo đó X,Y,Z lần lượt là các cạnh của tam giác vuông, X là cạnh huyền)
H² = Y’. Z’ (Y’, Z’ lần lượt là hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
1H2 = 1Y2 + 1Z2

2.4 Công thức, cách tính đường cao trong tam giác cân đơn giản nhất

Đối với tam giác cân là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc bên bằng nhau. Chính bởi vậy mà đường cao trong tam giác cân có những tính chất khác biệt với tam giác thường. Do vậy, công thức tính đường cao của tam giác cân có cách tính khác nhau cụ thể như sau:

Giả sử tam giác cân có 2 cạnh bên có độ dài bằng a, cạnh đáy bằng b. Từ đó dựa vào tính chất trung điểm cũng như định lí Pi- ta-go chúng ta có công thức tính đường cao tam giác cân như sau:

H = 4a2- b24

Như vậy, bài viết trên đã giúp bạn có thêm những kiến thức bổ ích về những Tính Chất & Cách Tính Đường Cao Tam Giác Đều, Vuông, Cân ở lớp 7. Và tiếp theo chúng ta sẽ làm quen với những tính chất của tam giác đồng dạng lớp 8. Hãy tiếp tục theo dõi chúng tôi để biết thêm những thông tin khác về toán học nhé.

Đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác & Những Kiến Thức Cần Biết

2023-01-16T07:39:05Z

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là tổng hợp các kiến thức từ khái niệm, tính chất, các kiến thức liên quan và các dạng bài tập. Giúp các bạn học sinh có thể hiểu thật rõ về đường tròn ngoại tiếp của tam giác, từ đó nắm vững các kiến thức và giải đước tất cả các bài toán về đường tròn ngoại tiếp các tam giác.

1. Định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác được hiểu là đường tròn tiếp xúc phía ngoài của tam giác. Vậy nên ta có định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh của một tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác được xác định là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó. Bên cạnh, đó thì chúng ta còn có đường tròn nội tiếp tam giác sẽ tìm hiểu ở phần sau nhé.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác còn có thể được gọi với một cái tên khác là tam giác nội tiếp đường tròn (hay tam giác nằm trong đường tròn).

Hình ảnh cụ thể về đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Khi tiến hành nối tâm O của đường tròn với 3 đỉnh của tam giác ABC thì sẽ có được các đường thẳng : OA = OB = OC. Đó chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà chúng ta cần tìm. Với công thức này, các bạn học sinh có thể áp dụng để giải quyết khá nhiều các dạng bài liên quan đến đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

2. Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Với đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ có các tính chất rất quan trọng mà các bạn học sinh cần nắm thật kỹ sau đây:

Một tam giác thì chỉ có một và duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.
Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác bất kì chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Đối với tam giác vuông thì trung điểm của cạnh huyền tam giác đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Với một tam giác đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác đó sẽ cùng là 1 điểm.

3. Một số kiến thức khác về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bên cạnh các kiến thức cơ bản về đường tròn ngoại tiếp tam giác. Thì các bạn học sinh cũng cần trang bị thêm cho bản thân một số kiến thức lý thuyết nâng cao về đường tròn ngoại tiếp của tam giác để có thể chinh phục được thật nhiều các dạng toán liên quan.

3.1 Cách để có thể vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để có thể xác định thật chính xác tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì các bạn học sinh cần nhớ thật kỹ kiến thức sau đây: “ Tâm của đường tròn ngoại tiếp với bất kỳ một tam giác nào luôn là giao điểm của 3 đường trung trực tam giác đó”.

Vậy nên khi muốn vẽ đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC thì đầu tiên chúng ta cần vẽ tam giác, tiếp đó kẻ các đường trung trực xuất phát từ 3 đỉnh của tam giác đó để có thể xác định tâm I của đường tròn. Cuối cùng chỉ cần lấy bán kính R= IA= IB= IC. Vậy là chúng ta có thể vẽ được đường tròn ngoại tiếp tam giác rồi đó.

3.2 Cách để có thể xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để có thể xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp bất kỳ tam giác nào thì chúng ta đều cần xác định vị trí giao điểm 3 đường trung trực của tam giác đó. Ngoài ra,thì tâm của đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cũng có thể là giao của hai đường trung trực. Vậy nên có hai cách để các bạn có thể giải quyết các bài toán dạng này thật dễ dàng.

Cách 1: Ta gọi I (x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà chúng ta cần tìm. Theo tính chất của đường tròn ngoại tiếp ta sẽ có IA = IB = IC = R. Lúc này toạ độ xác định của tâm I (x;y) sẽ là nghiệm của phương trình:

IA^2 = IB^2

IA^2 = IC^2

Cách 2: Với cách này chúng ta sẽ cần vận dụng kiến thức để viết phương trình hai đường trung trực của hai cạnh thuộc tam giác. Tiếp đó, cần xác định giao điểm của hai đường trung trực đó dựa trên những kiến thức mà chúng ta đã được học. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là giao điểm của hai đường trung trực này.

Lưu ý: Với tam giác vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác này chính là trung điểm của cạnh huyền. Cạnh huyền cũng chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

3.2 Phương trình chi tiết của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Một số dạng toán nâng cao sẽ yêu cầu các bạn học sinh phải viết được phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vừa mới nghe qua thì có thể các học sinh sẽ thấy đây là một dạng bài khá khó. Tuy nhiên, chỉ cần nắm vững các bước sau đây thì việc giải bài toán này sẽ khá dễ dàng:

Bước 1: Cần gán tọa độ các đỉnh của tam giác nội tiếp đường tròn vào phương trình có ẩn a,b,c. Do khoảng cách từ tâm đường tròn đến các đỉnh chính là bán kính nên các đỉnh thuộc hay nằm trên đường tròn ngoại tiếp. Vì thế mà tọa độ của các đỉnh sẽ thoả mãn phương trình mà chúng ta cần tìm.
Bước 2: Tiến hành giải hệ phương trình đã thực hiện thay thế các đỉnh ở trên để tìm ra các kết quả a,b,c
Bước 3: Do A, B và C thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình:

=> Sau khi giải hệ phương trình trên ta sẽ xác định được a, b, c.

3.3 Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác chuẩn nhất

Đây là dạng bài khá thường gặp trong các kỳ thi kiểm tra định kỳ. Do đó, các bạn học sinh cần nắm rõ và chi tiết cách làm sau đây để hoàn thành bài thi một cách tốt nhất.

Ví dụ: Với đề bài cho tam giác ABC có các cạnh là AB, AC và BC. Thay lần lượt các cạnh AB, AC và BC thành các ẩn a,b,c của phương trình. Ta sẽ tính được bán kính ngoại tiếp của tam giác ABC theo công thức sau:

Công thức chi tiết để tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác

4. Một số bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dưới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn một số bài toán về đường tròn ngoại tiếp tam giác để các bạn hiểu và hoàn thành các bài tập một cách tốt nhất.

Bài 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác ABC khi đã cho sẵn tọa độ của 3 đỉnh A(-1;3); B(5;1); C(-2;3)

Bài 2: Cho tam giác ABC đã biết A(1;3), B(-1;1), C(2;2). Tìm tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 8cm. Xác định bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC?

Bài 4: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 10cm. Xác định bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC?

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, và AB=6 cm, BC=8 cm,. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác bằng bao nhiêu?

Bài 6: Cho tam giác MNP có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là MF, NE và PD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác NDEP là tứ giác nội tiếp.

Trên đây, chúng tôi đã giúp các bạn học sinh có được tổng hợp các thông tin cần biết về đường tròn ngoại tiếp tam giác. Mong rằng với những thông tin này sẽ giúp các học sinh có thêm cho mình hành trang hữu ích cho môn toán. Đừng quên theo dõi chúng tôi để khám phá thêm thật nhiều những kiến thức toán học bổ ích nhé.

Các Trường Hợp Bằng Nhau Của Tam Giác Vuông

2023-01-16T07:28:52Z

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là tổng hợp những kiến thức từ khái niệm về tam giác bằng nhau và các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau. Với những kiến thức này sẽ giúp các bạn học sinh có được hành trang vững vàng để hoàn thành thật tốt các bài tập hình học về tam giác bằng nhau và tam giác vuông.

1. Hai tam giác bằng nhau là gì?

Hai tam giác được gọi là bằng nhau khi mà hai tam giác đó có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng cũng bằng nhau.

Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác DFE.

Hai tam giác bằng nhau

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Tam giác vuông là 1 tam giác khá đặc biệt do có 1 góc vuông. Vì thế mà khi so sánh hai tam giác vuông thì chỉ cần 2 tam giác đó có thêm 2 điểm chung nữa thì nó được gọi là bằng nhau. Sau đây, chúng tôi sẽ giới thiệu với các bạn các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

2.1 Hai cạnh góc vuông

Hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu hai cạnh liền kề góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh liền kề góc vuông của tam giác vuông kia. (cạnh – góc – cạnh )

2.2 Cạnh góc vuông và góc nhọn liền kề cạnh đó

Hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề bên cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia. ( góc – cạnh – góc )

2.3 Cạnh huyền, góc nhọn

Hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu một góc nhọn và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một góc nhọn và cạnh huyền của tam giác vuông kia. ( góc – cạnh – góc)

Hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền và góc nhọn

2.4 Cạnh huyền và cạnh góc vuông

Hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu một cạnh của góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh của góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia.

Hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền và cạnh góc vuông

3. Các dạng bài về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Ở bên trên, chúng tôi đã giới thiệu về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Tuy nhiên, để các em học sinh có thể hiểu và nắm rõ hơn về những khái niệm này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua các ví dụ sau đây:

Dạng 1: Chứng minh các tam giác vuông bằng nhau

Ở dạng này chúng ta sẽ xét hai tam giác vuông, rồi kiểm tra các điều kiện bằng nhau: cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc, cạnh huyền - góc nhọn hoặc cạnh huyền - cạnh góc vuông. Từ đó, xác định xem hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp nào và đưa ra kết luận hai tam giác bằng nhau.

Dạng 2: Chứng minh góc và đoạn thẳng bằng nhau

Với dạng bài này cũng sẽ vận dụng những kiến thức về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông. Từ đó, chứng minh hai tam giác bằng nhau thì các đoạn thẳng và các góc cũng bằng nhau.

Nếu bạn thấy tam giác vuông thì cần tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có ít nhất một điều kiện về cạnh để chứng minh hai tam giác đó là bằng nhau vậy mới có thể chứng minh hai cạnh hay góc tương ứng bằng nhau.

Dạng 3: Tìm thêm các điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau.

Với dạng bài này trước tiên bạn cần đọc kĩ đề bài và vẽ hình để có thể xem hai tam giác vuông đã có những yếu tố nào bằng nhau. Từ đó, bạn tính toán thêm xem cần phải bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác vuông đó có thể bằng nhau

4. Giải một số ví dụ minh họa các trường hợp bằng nhau của tam giác

Ví dụ 1:

Cho tam giác MNP cân tại M. Kẻ MH vuông góc với NP. Chứng minh :

a) HN = HP

b) góc NMH = góc PMH

Trả lời:

a) Xét hai tam giác vuông ΔMNH và ΔMPH ta có: MN = MP theo giả thiết và AH là cạnh chung. Suy ra: ΔMNH = ΔMPH theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.

Suy ra: HN = HP (cặp cạnh tương ứng)

b) Ta có: Hai tam giác ΔMNH = ΔMPH (chứng minh trên). Vậy nên sẽ có góc NMH = góc PMH

Ví dụ 2:

Các tam giác vuông ABC và MNP có góc A và góc M bằng nhau và bằng 90 độ, AC = MP. Hãy thêm một điều kiện để hai tam giác ΔABC = ΔMNP.

Bài giải:

Nếu thêm AB =MN thì ta sẽ có hai tam giác ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.

Nếu thêm góc C = góc P thì ta sẽ có hai tam giác ΔABC và ΔMNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh – góc.

Còn khi thêm BC = NP thì ta sẽ có ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.

Ví dụ 3:

Cho tam giác DEF cân tại điểm D, góc D nhỏ hơn 90^o. Vẽ EK ⊥ DF (K ∈ DF), CH ⊥ DE (H ∈ DE).

a) Chứng minh rằng DK = KH

b) Gọi M là giao điểm của EK và CH. Chứng minh rằng đoạn thẳng DM chính là tia phân giác của góc D

Bài giải

a) Giả thiết ΔDEF cân tại D thì có DE = DF. Xét hai tam giác vuông KDE và HDF, ta có:

DE = DF (chứng minh trên), góc D chung.

⇒ ΔKDE = ΔHDF theo (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ DK = DH (cặp cạnh tương ứng)

b) Xét hai tam giác vuông HDM và KDM, ta có:

DK = DH (chứng minh trên), DM là cạnh chung của hai tam giác. Từ đó, suy ra ΔKDM = ΔHDM (cạnh huyền - cạnh góc vuông) và cặp góc tương ứng là góc KDM = góc HDM. Vậy tia DM chính là tia phân giác của góc D.

5. Tổng hợp các dạng bài tập tam giác vuông bằng nhau

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập lý thuyết và thực hành về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

5.1 Bài tập lý thuyết

Bài 1: Hãy nêu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình ảnh minh họa cho từng trường hợp?

Bài 2: Phát biểu định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Nêu giả thiết, kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 3: Nêu khái niệm hai tam giác bằng nhau? Vẽ hình minh?

5.2 Bài tập thực hành

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác DEF biết góc A = góc D = 90°, góc C = góc F. Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai tam giác ABC và tam giác DEF bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề?

A. AC = DF B. AB = DE C. BC = EF D. AC = DE

Bài 2: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có góc B và góc E bằng nhau và bằng 90°, AC = DF, góc A = góc F. Hãy tìm phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây?

A. ΔABC = ΔFED B. ΔABC = ΔFDE C. ΔBAC = ΔFED D. ΔABC = ΔDEF

Bài 3: Cho tam giác ABC, kẻ BE và CD lần lượt là đường cao vuông góc với các cạnh AC, AB. Chứng minh rằng hai tam giác BCD và CBE bằng nhau, biết BD = EC.

Bài 4: Cho tam giác ACD cân tại A. Từ đỉnh A kẻ AH vuông góc với CD, H thuộc CD. Chứng minh rằng: HB = HC và AH là tia phân giác của góc BAC.

Bài 5: Cho hai tam giác ABC và DEF lần lượt vuông tại A và D, biết AB = DE. a) Để hai tam giác trên có thể bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn kề thì cần thêm điều kiện gì?

b) Để hai tam giác trên có thể bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn kề thì cần thêm điều kiện gì?

Trên đây, chúng tôi đã tổng hợp và cung cấp đến các bạn những thông tin liên quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và một số bài tập mà bạn có thể vận dụng. Mong rằng với những gì chúng tôi cung cấp sẽ giúp việc học và làm các bài tập toán của các bạn nhỏ trở lên dễ dàng hơn.

Cách Xác Định Tâm Đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác

2023-01-16T04:25:21Z

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là kiến thức trọng tâm cho môn toán hình. Cùng theo dõi bài viết dưới đây để có thể củng cố thêm kiến thức và làm quen với các dạng bài tập khác nhau nhé.

1. Tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác là gì?

Để có thể hiểu rõ và biết cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đầu tiên chúng ta sẽ đi tìm hiểu khái niệm và tính chất của nó ngay sau đây.

1.1 Khái niệm

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác bất kỳ. Giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác sẽ tạo thành tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Hay nó còn thường được gọi là tam giác nội tiếp của hình tròn.

Chẳng hạn, ta có ví dụ sau:

Hình ảnh minh hoạ về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua trung điểm F của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB. Mọi điểm I mà thuộc trung trực của đoạn thẳng AB đều bằng nhau IA = IB.

Có thể thấy rằng, ba đường trung trực tam giác ABC thì đồng quy tại một điểm. Gọi I là điểm giao của ba đường trung trực trong giam giác ABC thì ta sẽ có đoạn thẳng IA = đoạn thẳng IB = đoạn thẳng IC. Vì vậy mà I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

1.2 Tính chất

Một số tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có một số tính chất như sau:

Mọi tam giác đều chỉ có một đường tròn ngoại tiếp duy nhất.
Giao điểm của ba đường phân giác vuông góc của tam giác đóng vai trò là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và bán kính của chu vi của nó được xác định bằng khoảng cách giữa ba đỉnh của nó.
Chính giữa cạnh huyền đóng vai trò là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông.
Tâm đường tròn có chung đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Chẳng hạn: Cho ΔNMP cân tại N, nội tiếp đường tròn (O), đường cao NH cắt (O) ở K. Vì sao NK là đường kính của (O)?

Lời giải: Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác NMP mà tam giác NMP cân ở N nên đường cao NH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ NH

Nên: NK là dây qua tâm ⇒ Suy ra: NK là đường kính của đường tròn O

2. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác

Để có thể xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cần lưu ý một số điểm sau:

Tam giác có 3 đỉnh cách đều 1 điểm thì điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Quỹ tích của các điểm nhìn sang đoạn thẳng AB với một góc vuông sẽ là đường tròn có đường kính AB

Ta có 2 cách để có thể xác định được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

a) Cách 1

Bước 1: Gọi K(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFJ. Ta có các đoạn thẳng KE = KF = KJ và bằng bán kính R

Bước 2: Tọa độ tâm K là nghiệm của hệ phương trình:

KE bình phương = KF bình phương

KE bình phương = KJ bình phương

b) Cách 2

Bước 1: Tìm và viết được các phương trình đường trung trực của hai cạnh trong tam giác bất kỳ.

Bước 2: Sau đó, tìm giao điểm của hai đường trung trực đã tìm ra ở bước 1 và giao điểm của hai đường trung trực chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Tóm lại, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác NMP cân tại N nằm trên đường cao NH và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A là trung điểm cạnh huyền BC.

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC siêu chi tiết

Để có thể xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác theo cách 2, ta cần tìm được phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh. Để có thể giải được bài toán về phương trình đường tròn của ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Đầu tiên, ta thay tọa độ mỗi đỉnh của tam giác vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi vì các đỉnh của tam giác thuộc đường tròn ngoại tiếp, vì vậy, tọa độ các đỉnh trong tam giác thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp mà ta cần tìm)

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm ra các hằng số a,b,c tương ứng với các đỉnh trong tam giác.

Bước 3: Tiếp theo, ta thay giá trị vừa tìm được như a,b,c vào phương trình tổng quát để tìm ra phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Bước 4: Do đỉnh của tam giác thuộc đường tròn ngoại tiếp nên ta có hệ phương trình sau:

x(A) bình phương + y(A) bình phương - 2ax(A) - 2by(A) + c = 0

x(B) bình phương + y(B) bình phương - 2ax(B) - 2by(B) + c = 0

x(C) bình phương + y(C) bình phương - 2ax(C) - 2by(C) + c = 0

=> Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được các hằng số a, b, c.

3. Một số bài tập tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Để có thể giúp các bạn nắm rõ và hiểu hơn các kiến thức về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, sau đây là một số bài tâp để các bạn thực hành.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại B, và AB = 6cm, BC = 8cm. Q là trung điểm của AC. Hãy xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?

Giải: Áp dụng định lý Pytago, ta có: CQ = 1/2 AC

Nên AQ = QB = QC = 5cm

Gọi D là trung điểm AC.

Vì tam giác ABC vuông tại B có BQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm Q của cạnh huyền AC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R = AQ = 5cm

Bài 2: Cho tam giác đều ABC với các cạnh bằng 12cm. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC? MNP

Giải: Gọi Q, I lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và AQ giao với CI tại điểm O.

Vì tam giác đều ABC nên đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác (tính chất tam giác đều)

Vậy nên, O chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tam giác ABC có CI là đường trung tuyến nên CI cũng là đường cao trong tam giác.

Từ đó, ta áp dụng định lý Pytago:

CI² = AC² – AI² = 122 – 62 = 108 (cm).

=> CI = 6√3cm.

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên: CO = 2/3 CI = 2/3 x 6√3 = 4√3 (cm).

Các bài tập tự áp dụng như sau:

Bài 1: Đường cao AD, đường cao BE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H (góc C không phải góc vuông) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại N và M.

a, Chứng minh rằng CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp của nó.

b, Chứng minh tam giác CNM là tam giác cân.

Bài 2: Cho tam giác NMP có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là NF, ME và PD cắt nhau tại K. Chứng minh tứ giác MDEP là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm G của đường tròn ngoại tiếp đó.

Bài 3: Cho tam giác EFJ vuông tại E có EF < EJ, đường cao EH (H thuộc EJ). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của FD. Gọi A là chân đường vuông góc hạ từ J xuống đường thẳng ED. Chứng minh tứ giác EHAJ nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Như vậy, trên đây là tổng hợp kiến thức từ nhiều bài tập, khái niệm, tính chất, kiến thức liên quan đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hy vọng bài viết này có thể giúp bạn nắm vững kiến thức và tìm ra lời giải cho các bài toán liên quan.

Định Nghĩa, Chứng Minh & Tính Chất Tam Giác Cân

2023-01-16T04:16:11Z

Tam giác cân là một trong những loại tam giác đặc biệt được ứng dụng rất nhiều trong chương trình học toán của bậc THCS lẫn THPT. Thao khả bài viết dưới đây để có thể nắm chắc kiến thức và giải bài tập một cách nhanh chóng nhé.

1. Định nghĩa tam giác cân

Tam giác có độ dài hai cạnh bằng nhau là tam giác cân. Các bộ phận của nó sẽ bao gồm:

Tam giác cân có 4 bộ phận

Chân: Hai cạnh bằng nhau của một tam giác được coi là cân được gọi là 'chân'. Cho tam giác ABC, AB và AC là hai chân của tam giác cân.
Đáy: 'Đáy' của một tam giác được coi là cân cân là cạnh thứ ba và không bằng nhau. Cho tam giác ABC, BC là đáy của tam giác ABC cân.
Góc ở đỉnh: 'Góc ở đỉnh' là góc tạo bởi hai cạnh bằng nhau của một tam giác được coi là cân. ∠BAC là một góc ở đỉnh của tam giác ABC cân.
Các góc ở đáy: 'Các góc ở đáy' là các góc bao quanh đáy của một tam giác được coi là cân. ∠ABC và ∠ACB là hai góc ở đáy của tam giác ABC cân.

Nhìn chung, tam giác được coi là cân được phân thành ba loại khác nhau:

Tam giác nhọn cân: Tam giác nhọn cân là tam giác có cả ba góc nhỏ hơn 90° và ít nhất hai trong số các góc của nó có số đo bằng nhau. Một ví dụ về các góc của tam giác nhọn cân là 50°, 50° và 80°.
Tam giác vuông cân: Sau đây là một ví dụ về tam giác vuông có hai cạnh (và các góc tương ứng của chúng) có số đo bằng nhau.
Tam giác tù cân: Tam giác tù cân là tam giác có một trong ba góc tù (nằm trong khoảng từ 90° đến 180°) và hai góc nhọn còn lại có số đo bằng nhau. Một ví dụ về góc tam giác tù cân là 30°, 30° và 120°.

2. Tính chất của tam giác cân

Mỗi hình trong hình học sẽ có một số thuộc tính làm cho nó khác biệt và độc đáo so với các hình khác. Dưới đây là một vài tính chất của tam giác được coi là cân như sau:

Hai cạnh của tam giác bằng nhau và hai góc của tam giác bằng nhau.
Hai cạnh bằng nhau của một tam giác được gọi là hai cạnh và góc giữa chúng gọi là góc ở đỉnh hoặc góc ở đỉnh.
Cạnh đối diện với góc ở đỉnh gọi là đáy và các góc ở đáy bằng nhau.
Đường vuông góc của góc ở đỉnh chia đôi đáy và góc ở đỉnh.
Đường vuông góc vẽ từ góc ở đỉnh chia tam giác ABC cân thành hai tam giác bằng nhau và còn được gọi là đường đối xứng của nó.

Một số bài tập vận dụng cho phần này như sau:

Bài tập 1: Cho tam giác CVB cân

Hỏi: a, Tính các góc ở đáy khi biết góc ở đỉnh bằng 40 độ

b, Tính góc ở đỉnh khi biết góc ở đáy bằng 40 độ.

Lời giải:

a, CVB cân và C=40 độ

Ta có: C+V+B=180 độ

Nên: C+2V=C+2B=180 độ

V = B = 180 độ – C2= 70 độ (vì B=C)

b, CVB cân, V = B =40 độ

Ta có: C+V+B=180 độ

Nên C =180 độ – V– B =180 -2.40 =100 độ

3. Chứng minh tam giác cân

Để có thể chứng minh một tam giác bất kỳ là một tam giác được coi là cân, ta thường sử dụng các cách như sau:

Cách thứ nhất: Chứng minh cho tam giác đó có hai cạnh bằng nhau là cách chứng minh tam giác cân thường xuyên gặp nhất. Vì cách này dùng dấu hiệu cơ bản nhất của tam giác được coi là cân để có thể biết nó cân hay không hay tam giác đó cân tại đâu.
Cách thứ hai: Chứng minh cho tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau. Đây là cách chứng minh cho tam giác bất kỳ thành tam giác cân cũng khá phổ biến. Với dạng bài toán này, bạn cần phải xác định chiều dài của từng cạnh chính xác hay dùng một cạnh thứ 3 để có thể chứng minh.

Bạn có thể tham khảo các ví dụ dưới đây để học được cách chứng minh tam giác như sau:

Ví dụ 1: Trong tam giác MNP có ΔMNE = ΔMPE. Chứng minh tam giác MNP cân.

Chứng minh theo cách 1:

Theo đề bài ra, ta có: ΔMNE = ΔMPE

Nên ⇒ MN = MP

Suy ra: Tam giác MNP cân tại M

Chứng minh theo cách 2:

Theo đề bài ra, ta có: ΔMNE = ΔMPE

Nên ⇒ Góc N = Góc P

Suy ra: Tam giác MNP cân tại M

Ví dụ 2: Cho tam giác DEF có cạnh ED và EF bằng nhau. Kẻ EI là tia phân giác của ∠DEF.

Hãy chứng minh rằng: Tam giác DIF cân

Bài làm:

Đầu tiên, ta xét tam giác EID và EIF có:

ED = EF

Góc IED = Góc EIF ( Vì EI là tia phân giác của góc DEF)

Và EI là cạnh chung.

Suy ra: ΔEID =ΔEIF => ID = IF

Vậy nên tam giác DIF cân tại I.

Ví dụ 3: Cho tam giác ONM cân tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh OM, điểm E thuộc cạnh ON sao cho OD = OE

a) Hãy so sánh góc OND và OME

b) Gọi I là giao điểm của ND và ME. Chứng minh tam giác INM cân. Vì sao ?

Gợi ý trả lời:

a) Tam giác ONM cân tại O (giả thiết)

Nên: ON = OM và Góc ONM = Góc OMN

Xét ΔOND và ΔOME, ta có:

ON = OM (giả thiết)

Và góc O chung

OD = OE (giả thiết)

Suy ra: ΔOND = ΔOME (cạnh - góc - cạnh)

⇒ Góc OND = Góc OME ( các cặp canh tương ứng)

b) ΔINM có:

Góc INM = Góc ONM - Góc OND = Góc OMN - Góc OME = Góc IMN

Suy ra: Tam giác INM cân tại I

4. Công thức để tính diện tích của tam giác cân

Diện tích tam giác cân là diện tích bề mặt hoặc không gian bao quanh giữa các cạnh của tam giác. Công thức diện tích tam giác nào đó cân bằng nửa tích của đáy và chiều cao của tam giác.

Công thức tính diện tích của tam giác cân chi tiết

Công thức: Diện tích tam giác cân = (cạnh đáy x chiều cao) / 2

Ví dụ 1: Tam giác NMP có chiều cao = 3cm và chiều dài đáy = 6cm thì diện tích tam giác đó sẽ là: (3 × 6) /2 = 9 cm2

Ví dụ 2: Cho tam giác EFJ vuông tại E có góc F = 45 độ, EF = 5cm. Chứng minh EFJ là vuông cân. Tính diện tích EFJ.

Bài làm: Trong tam giác EFJ có:

Góc E + Góc F + Góc J= 180 độ

Góc J = 180 độ – 90 độ – 45 độ = 45 độ

Suy ra: Góc F = Góc J = 45 độ

EFJ cân tại E (1)

Vì EFJ vuông tại E (đề bài cho) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tam giác EFJ vuông cân tại E.

Diện tích tam giác EFJ=12.EF.EJ = 12.5.5 = 252 (cm2)

5. Công thức để tính chu vi của tam giác cân

Để có thể tính chu vi của tam giác cân, bạn cần phải biết chính xác đỉnh của tam giác và độ dài chính xác của 2 cạnh là được. Công thức sẽ là: P = 2a + c

Trong đó:

a: hiểu được là 2 cạnh bên của tam giác

c: là cạnh đáy của tam giác.

Hầu hết các công thức tính chu vi tam giác bất kì cân đều có trong các câu hỏi bổ sung của nhiều bài toán yêu cầu tính diện tích tam giác. Bằng công thức có sẵn cho cả ba loại tam giác thường gặp là tam giác thường, tam giác vuông và tam giác đều.

Như vậy, khi đã hiểu và vận dụng đúng cách tính diện tích tam giác, các em có thể sử dụng thêm các công thức xác định chu vi tam giác để nâng cao điểm số hoặc giải nhanh bài toán khi thấy phù hợp.

Ví dụ 1: Cho hình tam giác MNP cân tại N với chiều dài MN= 8 cm, MP = 6 cm. Tính chu vi của hình tam giác MNP cân đó. Dựa vào công thức tính chu vi tam giác cân ở trên, ta có cách tính như sau: P = 2 x 8 + 6 = 22 cm.

Như vậy, trên đây là toàn bộ thông tin tóm tắt liên quan đến tam giác cân, cùng với các hướng dẫn chi tiết để hoàn thành các bài toán liên quan khác nhau. Hi vọng với những thông tin hữu ích nêu trên sẽ hỗ trợ các bạn trong quá trình học tập và hoàn thành bài tập.

Công Thức & Cách Tính Chu Vi Hình Tam Giác

2023-01-16T04:01:09Z

Các công thức tính chu vi tam giác là kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh lớp 9. Để giải bài tập một cách nhanh nhất và hiểu vấn đề thì bạn cần nắm vững các công thức được chúng tôi tổng hợp ngay dưới đây.

1. Cách tính chu vi hình tam giác

Chu vi của một tam giác có nghĩa là tổng của cả ba cạnh. Từ chu vi là sự kết hợp của hai từ Hy Lạp – "peri" có nghĩa là xung quanh và "metron" có nghĩa là thước đo. Tổng khoảng cách xung quanh bất kỳ hình dạng 2D nào được định nghĩa là chu vi của nó. Vì chu vi cho biết độ dài của đường bao của một hình, nên nó được biểu thị bằng đơn vị tuyến tính.

Cách tính chu vi nhanh và dễ hiểu đối với hình tam giác

Ví dụ thực tế về chu vi của tam giác: Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần rào công viên hình tam giác được hiển thị bên dưới. Bây giờ, để có thể biết kích thước của hàng rào thì chúng ta sẽ cộng độ dài của ba cạnh của công viên lai với nhau. Kết quả này là chu vi của tam giác đó.

1.1 Công thức chu vi tam giác thường

Để tính chu vi của một tam giác, ta chỉ cần cộng độ dài các cạnh đã cho. Công thức cơ bản được sử dụng để tính chu vi của một tam giác là:

Chu vi = tổng ba cạnh

1.2 Công thức tính chu vi tam giác cân

Nếu một tam giác có độ dài hai cạnh bằng nhau thì đó là tam giác cân. Chu vi của một tam giác cân có thể được tính bằng cách tìm tổng của các cạnh bằng nhau và không bằng nhau. Công thức tính chu vi tam giác cân là: Chu vi tam giác cân = 2a+b đơn vị.

a = các cạnh có độ dài bằng nhau

b = cạnh thứ ba

1.3 Công thức tính chu vi tam giác đều

Một tam giác đều có tất cả các cạnh có số đo bằng nhau. Công thức sau đây giúp bạn tính chu vi của tam giác đều là:

Chu vi tam giác đều = (3 × a) đơn vị.

trong đó 'a' = độ dài mỗi cạnh của tam giác.

Tính chu vi tam giác cân như thế nào?

1.4 Công thức tính chu vi tam giác vuông

Tam giác có một trong các góc bằng 90° được gọi là tam giác vuông hoặc tam giác vuông. Chu vi của một tam giác vuông có thể được tính bằng cách cộng các cạnh đã cho. Công thức sau đây giúp bạn tính chu vi tam giác vuông là:

Chu vi tam giác vuông, P = a + b + c đơn vị.

Vì đây là một tam giác vuông, nên chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras, nếu bất kỳ cạnh nào của tam giác này chưa được biết. Định lý Pythagoras đã chỉ ra rằng bình phương của cạnh huyền trong tam giác sẽ bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông còn lại. Đề cập đến con số đưa ra ở trên:

a = Vuông góc

b = Cơ sở

c = Cạnh huyền

Do đó, theo định lý Pythagoras, c2 = a2 + b2. Trong trường hợp này, chu vi của một tam giác vuông cũng có thể được viết là: P = a + b + √(a2 + b2). Điều này là do c2 = a2 + b2 , do đó, c = √(a2 + b2).

1.5 Công thức tính chu vi tam giác vuông cân

Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau và hai góc bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân. Chu vi của một tam giác vuông cân có thể được tính bằng cách cộng các cạnh đã cho.

Công thức tính chu vi của tam giác vuông cân là P = 2l + h, trong đó l là độ dài của hai cạnh góc vuông bằng nhau và h là cạnh huyền.

Đối với cách tính chu vi của tam giác vuông cân

Một điểm thú vị khác cần lưu ý ở đây là sử dụng định lý Pythagoras, chúng ta biết, h = √(l2 l2) = √2 × l hay, l = h/√2 đơn vị. Do đó, chu vi của một tam giác vuông cân cũng có thể được viết là: P = 2l (√2)l = (2 √2)l đơn vị.

Ngoài ra, P = 2(h/√2) h = (√2 × h) h đơn vị.

2. Hướng dẫn 1 số dạng bài tập tính chu vi hình tam giác

Chu vi của một tam giác có thể được tính bằng cách làm theo các bước được đưa ra dưới đây:

Bước 1: Tính chu vi tam giác, số đo các cạnh đã cho

Muốn tính chu vi tam giác ta tính độ dài ba cạnh của tam giác

Bước 2: Tính chu vi hình tứ giác khi biết độ dài các cạnh

Để tính chu vi tứ giác ta tính tổng các cạnh của tứ giác.

Bước 3: So sánh độ dài một đoạn thẳng và chu vi của một tam giác, tứ giác Biết số đo các đoạn thẳng

Đặt lại cùng một vị trí
Tính tổng chiều dài của đoạn gấp khúc bằng cách cộng số đo của các đoạn thẳng với nhau rồi so sánh với chu vi của hình.

Ví dụ: Tìm chu vi của △ABC có các kích thước sau: AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm.

Giải:

Bước 1: Kiểm tra xem đã biết cả ba cạnh của tam giác chưa.

AB = 6 cm, BC = 8 cm và AC = 10 cm

Bước 2: Sử dụng công thức thích hợp và cộng các cạnh để được chu vi. Vì đây là một tam giác cân, nên chúng ta sử dụng công thức, Chu vi = a + b + c. Viết chu vi cùng với các đơn vị của nó.

Chu vi tam giác ABC = 6 + 8 + 10 = 24 cm.

3. Các ví dụ đã giải về công thức Chu vi Tam giác

Ví dụ 1: Tìm chu vi tam giác có các cạnh lần lượt là 3 cm, 5 cm và 7 cm

Trả lời:

Theo công thức thì P= a + b + c,

Do đó, P = 3 + 5 + 7 = 15 cm.

Ví dụ 2: Nếu P = 30cm và a = 5 và b = 7 thì c là bao nhiêu?

Trả lời:

Sử dụng công thức P = a + b + c, thay mọi thứ đã cho vào công thức

Những thứ đã cho là P=30, a=8 và b = 10

Thay thế chúng vào công thức sẽ cho:

30 = 8+ 10+ c

30 = 18 + c

Do đó, c = 12.

Ví dụ 3: Tìm độ dài hai cạnh bằng nhau của một tam giác cân biết độ dài cạnh không bằng nhau là 5cm và chu vi là 17cm.

Giải:

Biết độ dài cạnh không bằng nhau là 5cm, chu vi là 17cm.

Vì là tam giác cân nên độ dài hai cạnh còn lại bằng nhau. Đặt độ dài mỗi cạnh bằng nhau là đơn vị 'a'.

Do đó, chu vi = a + a + 5

Vì, chu vi = 17cm, chúng ta có thể viết,

17 = 2a + 5

2a + 5 = 17

2a = 12

a = 6cm

Vậy độ dài các cạnh bằng nhau của tam giác cân là 6cm.

Ví dụ 4: Cho chu vi tam giác đều là 21cm, tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Giải:

Vì trong tam giác đều, ba cạnh có độ dài bằng nhau nên chu vi bằng ba lần độ dài một cạnh.

Gọi độ dài của một cạnh bất kỳ bằng đơn vị 'a'. Vậy chu vi bằng '3a' đơn vị.

Vì vậy, chúng ta có thể viết,

3a = 21

a = 7cm

Như vậy độ dài mỗi cạnh bằng 7cm.

Một số bài tập dành cho bạn tự luyện tại nhà:

Câu 1: Hãy tìm chu vi hình tam giác ABC biết tam giác có độ dài các cạnh lần lượt là: 27cm, 3dm và 22cm.

Câu 2: Cho tam giác MNP có ba cạnh đều bằng nhau, cạnh MN = 5dm. Tìm chu vi tam giác MNP.

Câu 3: Cho tam giác EFJ có độ dài cạnh EF bằng 12cm.Tổng độ dài hai cạnh FJ và JE hơn độ dài cạnh EF là 7cm.

a. Tìm tổng độ dài hai cạnh FJ và JE

b. Tìm chu vi tam giác EFJ.

Câu 4: Tam giác OPQ có ba cạnh bằng nhau và có chu vi bằng 84dm. Hỏi cạnh OP dài bao nhiêu đề-xi-mét?

Trên đây là các thông tin tổng quan được chúng tôi tổng hợp lại về chu vi tam giác cũng như hướng dẫn giải chi tiết một số bài tập liên quan tương ứng. Hy vọng rằng qua những thông tin hữu ích trên có thể giúp bạn trong quá trình học và làm bài của bạn.

Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông & Tam Giác Thường Lớp 9

2023-01-16T03:31:48Z

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh lớp 9. Để giải bài tập một cách nhanh nhất và hiểu vấn đề thì bạn cần nắm vững các công thức được chúng tôi tổng hợp ngay dưới đây.

1. Các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

1.1 Hệ thức liên quan về cạnh và đường cao

Trong đề bài ta có một hình tam giác vuông ABC và dữ liệu được cho sẵn là vuông tại A cùng với AH là đường cao của tam giác này, khi đó ta có các hệ thức mà các bạn học sinh lớp 9 cần nhớ liên quan sau đây:

Các hệ thức liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông và tam giác thường

AB bình = BH * BC
AC bình = CH * BC
AH bình = BH * CH
AB * AC = AH * BC
1/đường cao bình = 1/AB bình * 1/AC bình
Cạnh huyền trong tam giác bình phương bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông trong tam giác đó.

1.2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Một số kiến thức quan trọng có liên quan đến các công thức lượng giác và hệ thức lượng tam giác vuông mà chúng tôi chuẩn bị nhắc tới như sau:

a) Định nghĩa về tỉ số lượng giác

Sin alpha = Đối / Huyền
Cos alpha = Kề / Huyền
Tan alpha = Đối / Kề
Cot alpha = Kề / Đối

b) Định lý về tỷ số lượng giác

Trong một tam giác vuông được cho sẵn , nếu hai góc phụ nhau thì có công thức áp dụng giải bài tập như: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia và ngược lại.

c) Các so sánh cần nhớ của hệ số lượng giác

Cho 2 góc alpha và belta được nhận diện là 2 góc nhọn của một tam giác vuông tức là hai góc có tổng số đo là 90 độ và alpha bé hơn belta thì:

Sin alpha < Sin beta và đồng thời Tan alpha < Tan beta
Cos alpha > Cos beta và tương tự ta có Cot alpha > Cot beta
Sin alpha < Tan alpha và bên cạnh đó thì Cos alpha < Cot alpha

2. 4 Định lý lượng giác trong tam giác vuông

Các định lý lượng giác trong tam giác vuông được chúng tôi tổng hợp để các bạn học dinh dễ học và dễ hình dung hơn:

Định lí 1

Trong một tam giác vuông bất kì, ta luôn có bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền trong tam giác đó và hình chiếu tương ứng của cạnh góc vuông đó ứng với cạnh huyền.

b² = ab’ ; c² = ac’

Định lí 2

Trong một tam giác vuông bất kì, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền sẽ bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông tương ứng đó trên cạnh huyền.

h² = b’c’

Định lí 3

Trong một tam giác vuông cho sẵn, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền tương ứng và đường cao nối từ đỉnh góc vuông của tam giác đó.

ah = bc

Định lí 4

Trong một tam giác vuông được cho sẵn, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác đó sẽ bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông tương ứng.

3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Nếu α cho trước là một góc nhọn bất kỳ thì:

0 < sinα <1
0< cosα <1, tanα > 0
cotα > 0, sin2α + cos2α = 1
tanα.cotα = 1; tanα = sinα.cosα
cotα = cosα.sinα
1 + tan2α = 1cos2α
1 + cot2α = 1sin2α

4. Hướng dẫn một số dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Dưới đây là một số dạng bài tập tiêu biểu đại diện cho việc áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 được nêu ra ở trên:

4.1 Chứng minh các hệ thức và tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải:

Vận dụng các phương pháp chứng minh đẳng thức: biến đổi để hai vế bằng nhau, từ giả thiết ban đầu dẫn đến đẳng thức đã được công nhận là đúng,… Vận dụng các định lý trong tam giác vuông, tam giác thường, các hệ thức lượng giác.

4.2 Tính toán các đại lượng

Phương pháp giải:

Vận dụng tính sin, cos, trung tuyến, diện tích và mối liên hệ giữa các đại lượng cần tính, các tam giác đặc biệt.

4.3 Chứng minh tam giác

Phương pháp giải:

Vận dụng các hệ thức lượng giác, định lý, công thức diện tích, đường trung tuyến, các bất phương trình và hằng số cơ bản.

4.4 Các bài toán thực tế về giải tam giác

Phương pháp giải cụ thể:

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và góc còn lại trong tam giác khi biết giả thiết, vận dụng các hệ thức lượng, định lý, công thức diện tích, đường trung tuyến,... Bài toán thực tế giải được. bằng cách quay trở lại bài toán tam giác để xác định số đo cần thiết

5. Tổng hợp bài tập vận dụng và hướng dẫn giải chi tiết nhất

Bài 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có đường cao AH của tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 3 và 4. Vận dụng các quan hệ đã học ở phần trên để có thể tính các cạnh. góc vuông của tam giác ABC như hình minh hoạ bên trên.

Lời giải: Ở bài toán này trước tiên ta cần xét các yếu tố dữ kiện mà bài toán đã cho. Lưu ý các góc vuông tương ứng và xác định đâu là cạnh huyền và góc nào là góc vuông. Sau đó quan sát các cạnh cần tính là thuộc cạnh nào của tam giác vuông. Sau đó, xem xét các dữ liệu có sẵn và chọn hệ số tương ứng để áp dụng. Đối với bài toán này ta sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu để tính toán theo yêu cầu của bài toán.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh góc vuông kề với góc 60 độ của tam giác vuông này bằng 3. Sử dụng bảng lượng giác các góc đặc biệt để tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (Lưu ý bạn cần phải làm tròn số vừa tính đến chữ số thập phân thứ tư nhé).

Giải: Một tam giác ABC vuông cân tại A thì trong 2 góc còn lại, góc lớn hơn là 60 độ và ngược lại là 30 độ. Khi đó cạnh đối diện của góc 60 độ đó bằng 3. Sau đó ta áp dụng từng công thức đã học trong bảng lượng giác để tính cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại.

Bài 3: Vận dụng kiến thức đã học viết các tỉ số lượng giác sau thành các tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 độ, gồm sin 60 độ, cos 75 độ, sin52 độ 30′, cot 82 độ, tan 80 độ.

Lời giải: Đây là dạng toán cơ bản khi học về tỉ số lượng giác của góc nhọn. Trong bài toán này ta chỉ cần vận dụng tính chất lượng giác của hai góc đối đỉnh trong một tam giác vuông. Sau đó thay đổi nó thành giá trị của góc tương ứng.

Trên đây là các thông tin tổng quan được chúng tôi tổng hợp lại về hệ thức lượng trong tam giác vuông và hướng dẫn một số lời giải chi tiết những bài tập liên quan. Hy vọng rằng qua những thông tin hữu ích trên có thể giúp bạn trong quá trình học bài và làm bài tập nhé.

Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác Vuông, Đều, Tam Giác Cân

2023-01-16T02:03:58Z

Trong bất kì một bài toán nào thì công thức toán học là mấu chốt giúp bạn tìm được đáp án nhanh nhất. Công thức tính diện tích giác vuông, đều, tam giác cân chắc chắn không còn xa lạ gì đối với mỗi người. Tuy nhiên đối với mỗi hình lại có những cách tích diện tích (S) khác nhau mà trong bài viết sau đây chúng tôi sẽ giúp bạn làm rõ nhé!

1. Công thức tính diện tích tam giác

1.1 Công thức tính diện tích tam giác thường

Giống như rất nhiều bài toán khác, thì bài toán tính diện tích tam giác cũng sẽ có những công thức mà bạn cần phải học. Và khi đã có công thức để áp dụng thì bất cứ bài toán tính diện tích tam giác nào bạn cũng sẽ có thể hoàn thành dễ dàng. Đối với các loại tam giác thường hiện nay có rất nhiều công thức tính diện tích tam giác.

Tuy nhiên, sẽ có những công thức tính diện tích tính tam giác khác nhau tùy thuộc vào từng giả thiết của đề bài. Xem đề bài cho những gì để từ đó chúng ta có thể áp dụng từng công thức cho phù hợp nhất. Cụ thể có những công thức tính diện tích tam giác vuông, đều, cân như sau:

1.2 Công thức diện tích tam giác đều

Tam giác đều là tam giác thường nhưng điểm đặc biệt là có độ dài 3 cạnh đều bằng nhau và tất cả các góc trong tam giác đều bằng 60 độ. Theo đó, diện tích tam giác đều được tính bằng công thức nhau sau: S = ½. A². sin 60^o = A². (3 /4). Trong đó A chính là cạnh của tam giác đều.

1.3 Công thức diện tích tam giác vuông

Tam giác vuông là tam giác có 1 góc vuông, cách tính diện tích tam giác vuông cũng cực kì đơn giản, nó là trường hợp đặc biệt của cách tính diện tích tam giác thường khi biết 2 cạnh và góc xen giữa. Khi đó sin 90^O= 1 và diện tích tam giác vuông được tính như sau: S= ½ ab, trong đó a, b chính là độ dài tương ứng của 2 cạnh góc vuông

Cách tính S tam giác vuông cân đơn giản

1.4 Công thức diện tích tam giác cân

Tam giác cân có độ dài 2 cạnh bằng nhau gọi là 2 cạnh bên, độ dài còn lại là cạnh đáy, ngoài ra còn có 2 cạnh đáy bằng nhau. Do đó, diện tích tam giác cân sẽ được tính bằng một nửa chiều cao nhân cạnh đáy tương ứng chiếu lên.

Ngoài ra, tam giác cân lại có trường hợp đặc biệt của riêng nó được gọi là tam giác vuông cân. Khi đó 2 cạnh góc vuông sẽ bằng nhau và diện tích tam giác vuông cân sẽ được tính bằng ½ a², trong đó a chính là độ dài của cạnh góc vuông cân.

2. Một số dạng toán tính diện tích tam giác

2.1 Cách tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz

Trong quá trình học chúng ta gặp rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Và trong hệ trục tọa độ Oxyz cũng có công thức tính riêng mà bạn nên biết. Cách tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz là: S_ABC= ½ [AB;AC]

Trong đó [AB;AC] được tính như sau:

Gọi tọa độ điểm A là A (a₁, b₁, c₁); tọa độ điểm B là B (a₂, b₂, c₂); tọa độ điểm C là C (a₃, b₃, c₂). Theo đó, AB = (a₂-a_1;b₂-b₁; c₂-c₁); AC = (a₃-a_1;b₃-b₁; c₃-c₁). Từ đó ta có cách tính: [AB;AC]= ( b₂−b₁ c₂−c₁) b₃−b₁ c₃−c₁ ; c₂−c₁ a₂−a₁ c₃−c₁ a₃−a_1; ; a₂−a₁ b₂−b₁ a₃−a₁ b₃−b₁ )

Sau đó chúng ta trừ chéo từng biểu thức cho nhau sẽ có được kết quả của [AB;AC] là tọa độ gồm 3 điểm nhé.

2.2 Tính diện tích khi biết cạnh đáy và chiều cao

Đối với giả thiết cho biết chiều cao và cạnh đáy thì diện tích tam giác sẽ được tính bằng một nửa chiều cao đó nhân với cạnh đáy tương ứng chiếu lên. Đây là công thức tính diện tích tam giác thông thường mà chúng ta thường gặp nhất. Tuy nhiên, chúng ta cũng phải nên biết một vài công thức tính diện tích nhanh sau đây để thuận tiện cho việc tính toán đạt kết quả nhanh nhất.

Tính diện tích khi biết cạnh đáy và chiều cao

2.3 Tính diện tích tam giác phụ thuộc vào 2 cạnh và góc xen giữa

Nếu giả thiết cho 2 cạnh của một tam giác và góc xen giữa thì diện tích của tam giác cũng có thể được tính bằng công thức như sau. Diện tích tam giác bằng một nửa tích 2 cạnh nhân với lại sin của góc xen giữa hai cạnh đó.

2.4 Giả thiết đề bài cho chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp

Đối với trường hợp đề bài cho chu vi và bán kính đường tròn thì bạn có thể tính diện tích tam giác này bằng cách sau đây. Ta sẽ là lấy nửa chu vi tam giác (p) nhân với lại bán kính đường tròn nội tiếp (r) thì bằng diện tích tam giác cần tính.

2.5 Diện tích tam giác theo độ dài 3 cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp

Chúng ta cũng phải hết sức lưu ý công thức này khi giải bài tập. Diện tích hình tam giác sẽ được tính bằng tích độ dài của 3 cạnh, tất cả đem chi cho 4 lần bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác (4R).

Ngoài ra chúng ta còn có cách tính diện tích hình tam giác bằng công thức Hê – rông:

S_ABC= pp−ap−b(p−c)

Trong đó: a, b, c lần lượt là độ dài của 3 cạnh và p chính là nửa chu vi của tam giác nhé!

3. Một số dạng toán tính diện tích tam giác

Sau đây chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn những ví dụ về một số bài toán tính diện tích tam giác. Đồng thời là biện pháp áp dụng và tính toán dựa trên những công thức có trên thực tế để có thể đưa ra cho bạn một số ví dụ để có thể dễ hình dung tính toán nhé!

3.1 Bài toán tính diện tích tam giác vuông

Giả thiết đề bài cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó có độ dài hai cạnh BA và CA lần lượt là 3 cm và 4 cm. Yêu cầu tính diện tích tam giác vuông ABC?

Theo công thức ở trên đã giới thiệu, diện tích vuông ABC sẽ được tính bằng ½. 3.4= 6 cm²

Các bạn lưu ý nếu đề bài chỉ cho cạnh huyền và một cạnh góc vuông và cho biết trước diện tích tam giác, yêu cầu tính cạnh còn lại thì từ công thức ban đầu tính diện tích chúng ta có thể duy luôn ra được cạnh còn lại nhé!

3.2 Bài toán tính diện tích tam giác đều

Bài toán cho tam giác ABC đều các cạnh của tam giác (a) bằng 3. Tính diện tích tam giác.

Áp dụng công thức tính S = ½. A². sin 60^o = A². (3 /4) ta có S_ABC= 3². (3 /4) = 93 /4

Bài toán tính S tam giác đều

3.3 Bài toán tính diện tích trong hệ tọa độ Oxyz

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm D (1;2;1), E (2;-1;3), F (5;2;-3). Tính diện tích của tam giác trong hệ tọa độ.

DE = (1_;-3; 2); DF = (4; 0; -4)

[DE;DF]= ( −3 2 0 −4 ; 2 1 −4 4 ; 1 −3 4 0 ) = (10; 12; 13)

Suy ra S_DEF= ½ [DE;DF] = ½. 102+122+132 = 413/2

Như vậy, bài viết trên đã giúp bạn nạp thêm những kiến thức bổ ích về công thức diện tích tam giác bao gồm công thức tính diện tích giác vuông, đều, tam giác cân. Mong rằng với những thông tin mà chúng tôi cung cấp bạn sẽ có thể học môn toán và có một điểm toán tốt nhất. Hãy theo dõi chúng tôi để biết thêm nhiều điều bổ ích hơn nhé.